Descrição de campos inhomogêneos através do conceito de linhas de campo

A questão aqui é a de descrever um campo vetorial através da confluência ou divergência de suas "linhas de campo", conceito a ser introduzido e desenvolvido. Entre outros vários fatores, a motivação para a introdução deste conceito reside no fato de que a dinâmica de partículas é mais facilmente descrita se apelarmos para a visualização geométrica de linhas de campo.

Tomemos como exemplo fundamental o campo magnético. Este é o exemplo de ouro, pois garantidamente as linhas de força se preservam devido a condição de divergência nula do campo.

Uma linha de campo é uma curva unidimensional construída de tal forma a ter todos os seus segmentos infinitesimais alinhados com o campo, ponto a ponto. Designando um destes segmentos genéricos por dl, a condição de alinhamento (paralelismo) se traduz na seguinte relação:

, (77)

o que se traduz, nas seguinte relações escalares:

(78)

Supondo que a linha seja descrita em termos de uma coordenada independente z e de duas dependentes x e y, as três relações (78) são de fato equivalentes a duas equações diferenciais acopladas:

(79)

Agora consideremos o fato de que . Isto nos permitirá visualizar a configuração de campos. A título de exemplo, consideremos o caso bi-dimensional onde temos apenas B_z(y,z) e B_y(y,z) não nulos, e com a dependência funcional como descrita nos parênteses.

Suponhamos ademais que estejamos descrevendo um campo simétrico para o qual B_y(z,y=0)=0. A situação é aquela retratada na figura a seguir:

.

Em y=0 o campo está alinhado com o eixo z, mas a medida que nos afastamos deste eixo pequenas componentes y surgem. A tarefa é a de descrever estas "pequenas componentes y".

Inicialmente notemos que se By=0 em z=0, uma expansão do tipo Taylor em termos de y nos diz que

, (80)

a condição em conjunção com a definição Resolvendo a segunda das equações (79) ficamos com

(81)

onde o subíndice "o" denota uma posição inicial para o qual o campo vale B_o e a coordenada y vale y_o. Também, supondo que haja um certo número N constante de linhas entre 0 e y, podemos calcular a densidade de linhas como N/y que será então proporcional a B_z, já que nenhuma linha se perder atravessando porventura o eixo y=0 (notem que para y=0, dy/dz=0!). Daí sai a afirmação de que a densidade de linhas é proporcional à intensidade do campo no ponto sob consideração.

Movimento de partículas em campos eletromagnéticos externos e inhomogêneos

A situação estudada nos capítulos anteriores se altera quando estudamos o problema do movimento de partículas em campos inhomogêneos. Para simplificar a descrição, vamos supor que a inhomogeneidade é do tipo fraco. Em outras palavras, considerando o raio de larmos "local" como r_L e considerando a escala espacial na qual os campos sofrem variação significativa como Lambda, nosso esquema será construido apenas para aquelas situações nas quais:

(82)

Lancemo-nos então ao estudo do caso em que temos um campo magnético B_z que depende fracamente das coordenadas transversais a z. Dado o fato de que a divergência de B é nula, temos então a seguinte situação:

. (83)

Em outras palavras, se B_z depende de z, então pelo menos há uma componente transversal que deve depender da respectiva coordenada. Suponhamos que B_x=0 aqui, exatamente como no caso estudado acima. Suponhamos também que estejamos interessados em descrever o movimento do centro guia de uma partícula ao longo de uma linha de campo colinear com o eixo z. O centro guia não "enxerga" o campo y, mas a trajetória real da partícula sim. O que desejamos é obter uma equação para o centro guia que considere os efeitos de inhomogeneidade observados pela órbita real da partícula. A figura abaixo "ilustra" a configuração a ser investigada.

A equação de movimento de uma partícula de carga "q" e massa "m" é simplesmente obtida da lei de força de Lorentz. A componente paralela ao eixo z nos informa

(84)

Usando agora a relação (64) em conjunção com a conhecida identidade vetorial Ax(BxC)=B(A.C)-C(A.B), obtemos

(85)

Sabemos das relações para as coordenadas de Larmor x_L e y_L, que y_L pode ser escrita na forma y_L=r_L cos(theta_L), onde theta_L é o ângulo de Larmor que varia linearmente com o tempo. Tomando a média sobre estas oscilações rápidas devido a rotação, finalmente chegamos a forma final

(86)

onde

é o momento magnético carregado por uma partícula de carga q em movimento circular de raio rL. Se o momento magnético for constante, poderíamos construir um potencial efetivo para o movimento longitudinal da partícula.

Consideremos então a energia total da partícula: W=W_perp+W_//. Esta energia é conservada para movimentos em campos magnéticos, como já vimos anteriormente. Portanto dW_///dt=-dW_perp/dt. Por outro lado, se multiplicarmos (86) por v_z, obtemos o seguinte resultado:

(87)

_{Daqui, e da conservação de energia, concluímos então que:}

(88)

No entanto, também vale a seguinte expressão:

, (89)

que nasce de (64) e da definição do momento magnético dada logo acima.

Reunindo os resultados, concluimos de (88) e (89) que o momento magnético é uma constante de movimento. Com isto, concluímos que há uma lei de conservação associada ao movimento longitudinal da partícula:

(90)

com , , e

(91)

O resultado final é que se o momento magnético for não nulo, o movimento da partícula pode ser confinado em regiões de campo para os quais .

Examinemos finalmente o movimento transversal ao campo. Pra tanto, escrevamos a equação de movimento para a velocidade transversal;

(92)

onde por B_z entenda-se o valor do campo magnético sobre a linha de campo que coincidente com o eixo z. O primeiro termo ao lado direito de (92) deve ser interpretado como o termo de ordem zero que governa o movimento. Os demais agem como perturbações cujas influências devemos elucidar. As derivadas dos campos em relação a y são computadas em y=0. Portanto o último termo se promediado em uma oscilação da partícula em torno do centro guia, se anula.

O que nos resta é computar o efeito do segundo termo ao lado direito de (92). Para tanto mais uma vez usemos (64), que multiplicada pelo versor ao longo de z nos fornece o seguinte resultado:

(93)

Com isto fica fácil de notar que em média, o termo que nos interessa pode escrito como

, (94)

onde a derivada agora é feita em relação a y. Em suma, usando mais uma vez a
definição de momento magnético pode-se então concluir que em termos da dinâmica transversal, há uma força média (d.c., para usar a terminologia de circuitos) que possui a seguinte estrutura:

(94)

Generalizando nossos resultados, podemos finalmente concluir que o efeito das inhomogeneidades sobre a dinâmica do centro guia são equivalentes a uma força adicional agindo sobre a partícula. A força possui a seguinte estrutra:

(95)

onde o momento magnético é constante, como demonstrado, e o potencial Phi_B já é nosso conhecido. A força transversal ao campo pode ser associada a um campo elétrico efetivo , de onde, usando nossos resultados para a deriva transversal em um campo elétrico+magnético podemos escrever para a velocidade de deriva transversal ao campo a seguinte relação

(96)

Notem então que não apenas a partícula se movimenta ao longo do campo, mas também transversalmente a ele.